\documentclass[italian,a4paper,twoside,titlepage]{article}

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\newcommand{\de}{\partial}

%--------------------------------------------------------------------------------
\title{Dinamica di una componente di energia oscura dell'universo}
\author{Davide Poletti}
\date{\today}

%--------------------------------------------------------------------------------
\begin{document}

%\begin{frontespizio}
%\Preambolo{\usepackage{tgpagella}}
%\Universita{Padova}
%\Logo{logo}
%\Facolta{Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali}
%\Corso[Laurea]{Fisica}
%\Titoletto{Tesi di Laurea}
%\Titolo{Dinamica di una componente di energia oscura dell'universo}
%\Candidato[601835]{Davide Poletti}
%\Relatore{Dott. Nicola Bartolo}
%\Annoaccademico{2010--2011}
%\end{frontespizio}

\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\newpage
\thispagestyle{empty}
\mbox{}
\newpage
\thispagestyle{empty}
\section*{Premessa}
Nel 1998 osservazioni sulle supernovae di tipo Ia diedero prova che
l'universo è recentemente entrato in un periodo di espansione accelerata. 
Queste osservazioni possono essere spiegate assumendo che l'universo
sia costituito per circa il 75\%  da un'energia caratterizzata da una
pressione negativa. Nell'attuale modello cosmologico standard questa
\emph{energia oscura} è associata alla costante cosmologica, 
interpretabile come una densità di energia costante
legata allo spazio vuoto.\\
In questo lavoro di tesi si è studiata l'evoluzione cosmologica
di una componente di energia oscura dinamica nella forma di un \emph{campo
scalare}, come alternativa alla costante cosmologica.
La presenza di un campo scalare che evolve lentamente lungo un potenziale
potrebbe infatti spiegare l'espansione accelerata dell'universo.\\
Inoltre, per un'ampia famiglia di potenziali, la dinamica a lungo termine
del campo risulta determinata unicamente dalla forma del potenziale.
L'importanza di questa proprietà è evidente: l'evoluzione dell'universo
risulterebbe indipendente dalle condizioni iniziali.\\
Infine si può facilmente ottenere per il campo una dinamica che presenti
alcuni dei punti di forza della costante cosmologica. Infatti l'energia associata al
campo diventerebbe dominante all'epoca presente dopo essere rimasta per
tutta la storia dell'universo una componente subdominante, quindi non
ostacolando con la sua pressione negativa la formazione delle strutture
cosmiche.
Il lavoro di tesi è basato sullo studio e sulla rielaborazione
dell'articolo {\it Cosmological Tracking Solution} di P. J. Steinhardt, L. Wang
e I. Zlatev \cite{art:CTS}.

\newpage
\setcounter{page}{1}
\section{Introduzione}
\subsection{Elementi di cosmologia}
La cosmologia si occupa dello studio dell'universo su scale molto grandi,
superiori alle decine di megaparsec, le dimensioni dei ammassi e
superammassi di galassie. Su
queste scale, le
osservazioni sulla distribuzione delle galassie e la quasi uniformità
della temperatura della radiazione cosmica di fondo (CMB) provano che l'universo è
sostanzialmente \emph{omogeneo e isotropo}. Sulla base di questa assunzione è possibile
scrivere la componente spaziale della metrica dello spazio-tempo come 
coordinate indipendenti dal tempo (coordinate comoventi) moltiplicate per un
\emph{fattore di scala $a(t)$}\cite{book:coles}:
\begin{equation}
    ds^2 = dt^2 - a^2(t)\left[ \frac{dr^2}{1-lr^2} + r^2 d\theta^2 + r^2
    \sin^2{\theta} d\varphi^2 \right],
    \label{metrica}
\end{equation}
dove la velocità della luce $c$ è posta, qui come in tutto ciò che   
segue, uguale a 1 e $l$ è la curvatura spaziale. Quest'ultima può essere
nulla, positiva o negativa. Il primo caso corrisponde ad un universo
spazialmente piatto,
il secondo e il terzo caso corrispondono all'analogo tridimensionale rispettivamente di una
sfera e di una sella. La metrica (\ref{metrica}) è chiamata \emph{metrica di
Robertson-Walker}.\\
L'espansione dell'universo è contenuta nel fattore di scala. La dipendenza
temporale del fattore di scala è legata dalle equazioni di Einstein alla distribuzione di energia nello
spazio. La soluzione per una distribuzione di energia uniforme è espressa
dalle \emph{equazioni di Friedmann}
\begin{equation}
    \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho -
    \frac{l}{a^2}
    \label{f1} ,
\end{equation}
\begin{equation}
    \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3} (\rho + 3p)
    \label{f2}  ,
\end{equation}
dove $\rho$ è la densità di energia nel sistema di coordinate comoventi e
$p$ è la pressione totale. Per comodità introduciamo la seguente notazione
$M_P \equiv 1/\sqrt{8\pi G}$ e $k \equiv (8\pi G)/3  = 1/(3M_P^2)$. $H \equiv \dot{a}/a$ è chiamato parametro
di Hubble. Dalla prima equazione di Friedmann è evidente che 
l'universo è piatto solo se la densità di energia è esattamente uguale a una
densità critica $\rho_\text{crit} \equiv H^2/k$. Può
essere conveniente esprimere la densità di energia di un generico fluido
$i$ come frazione della densità critica $\Omega_i = \rho_i/\rho_\text{crit}$.
I dati attuali sembrano confermare che $\rho_\text{tot} = \rho_\text{crit}$; pertanto,
in quanto segue, supporremo sempre $l = 0$ e utilizzeremo la relazione
$\sum_i{\Omega_i} = 1$.\\
In un universo in cui lo spazio si dilata un osservatore vede le strutture
cosmiche che lo circondano allontanarsi. Per effetto Doppler la luce
osservata sarà affetta da un \emph{redshift} $z \equiv (\lambda_\text{osservata}
-\lambda_\text{emessa})/\lambda_\text{emessa}$. Tanto più lontano è l'oggetto
osservato, tanto maggiore sarà la velocità con cui si allontana. 
$z$ è quindi un metro della distanza che separa l'osservatore dall'oggetto.
Poiché la luce ha velocità finita le osservazioni descrivono com'era
l'oggetto in un passato tanto più lontano quanto maggiore è la sua distanza. Pertanto $z$ viene comunemente usato come scala
temporale: osservazioni a redshift molto alto riguardano un universo lontano
sia spazialmente che temporalmente. Una importante relazione lega il
redshift al fattore di scala
\begin{equation*}
    1+z = \frac{a_o}{a(t)},
\end{equation*}
$a_o$ è il fattore di scala all'epoca presente ed è solitamente posto a
uguale a 1, $a(t)$ è il valore che aveva il fattore di scala nell'istante in
cui è stato emesso il segnale che si osserva avere redshift $z$.

In prima approssimazione le specie di energia presenti nell'universo non
sono interagenti; ne consegue che per ognuna di esse vale separatamente
\begin{equation}
    \dot{\rho}+ 3 \frac{\dot{a}}{a}(\rho + p) = 0.
    \label{continuita}
\end{equation}
Per ogni fluido si può definire un'equazione di stato $w \equiv p / \rho$,
in generale dipendente dal tempo. Per la materia, approssimata come non
collisionale, si ha $w_M = 0$ e per la radiazione $w_R = \frac{1}{3}$.
Dalla Eq.(\ref{continuita}) si ottiene
\begin{equation*}
    \rho(a) = \rho(a_0) \exp\left[- \int^{\ln{a}}_0 3(1+w(a')) d \ln{a'}  \right].
\end{equation*}
Nel caso di un'equazione di stato costante, l'andamento
della densità di energia in funzione del fattore di scala risulta essere
\begin{equation}
    \rho \propto \frac{1}{a^{3(1+w)}}.
    \label{rho di a}
\end{equation}
Dunque la velocità con cui la densità decresce con l'espansione
dell'universo dipende solo dalla natura del fluido; eventuali altri fluidi
presenti nell'universo si manifestano solo contribuendo a determinare la
dipendenza temporale del fattore di scala.
\`E utile studiare quest'ultima nel caso l'universo sia dominato da una
$\rho_i$ caratterizzata da un'equazione di stato $w_i$. Combinando l'Eq.(\ref{rho di a})
con l'Eq.(\ref{f1}) si ottiene facilmente
\begin{equation}
    a \propto
    \begin{cases}
        t^{\frac{2}{3(1+w_i)}} & w_i \neq -1 \\
        \exp(t) &  w = -1.
    \end{cases}
    \label{a di t}
\end{equation}
Osserviamo che un fluido con equazione di stato $w = -1$ si presenta come
una densità di energia costante nel tempo e, se dominante, conduce a
un'espansione accelerata
esponenziale dell'universo. Nell'attuale modello cosmologico standard ($\Lambda$CDM)
l'universo è pervaso di un tale fluido, caratterizzato da una densità
$\rho = M_P^2 \Lambda$ dove $\Lambda$ viene chiamata costante cosmologica.

In passato si pensava che l'universo fosse popolato soltanto da materia e
radiazione. Nel 1998 due studi indipendenti sulle supernovae di
tipo Ia provarono che l'universo è recentemente entrato in un periodo di
espansione accelerata, quindi $\ddot{a} > 0$ all'epoca
presente\cite{art:DEAU}. La seconda
equazione di Friedmann mostra che ciò è possibile solo supponendo che una
forma di energia (\emph{energia oscura}), caratterizzata da un'equazione di stato $w<-1/3$, domini
l'energia totale all'epoca presente.\\
Il modello $\Lambda$CDM assume che l'universo sia composto al
76\% da una \emph{energia oscura} uniforme e costante nel tempo ($w=-1$),
una costante cosmologica $\Lambda$
interpretabile come energia associata allo spazio vuoto, al 20\% da materia
oscura fredda (Cold Dark Matter), al 4\% da barioni\cite{art:DEAU} e per
meno dello 0.01\% da radiazione.\\
Questo modello fornisce dei buoni fit sui dati attuali, ma porta con sè diversi
problemi tuttora irrisolti.\\
L'energia oscura rimane priva di una spiegazione fisica.
Nella teoria quantistica dei campi lo spazio è pieno di particelle virtuali.
L'energia associata a questo vuoto quantistico è però stimata essere oltre
100 ordini di grandezza superiore al valore misurato dalle osservazioni
cosmologiche.\\
Rimane aperto anche il problema della \emph{coincidenza cosmica}: perché
materia e energia oscura risultano paragonabili proprio all'epoca presente?
In particolare ciò può accadere fissando in maniera estremamente accurata le
condizioni iniziali dell'universo primordiale (problema delle
\emph{condizioni iniziali}). Le due forme di energia, infatti, decrescono con velocità molto
diverse con l'espansione dell'universo.

\subsection{Campi scalari}
Accanto alla costante cosmologica, sono stati avanzati diversi candidati a
energia oscura, tra questi vi sono i campi scalari.
Un campo scalare è una funzione che associa ad ogni punto dello spazio-tempo
un numero reale ed è caratterizzato dall'essere invariante sotto
trasformazioni di Lorentz (in uno spazio-tempo di Minkowski).
Poiché stiamo assumendo che l'universo sia omogeneo, possiamo limitare lo studio
del campo a un punto dello spazio comovente.\\
La dinamica del campo scalare è governata dalla lagrangiana
\begin{equation}
    L_\varphi =  \frac{1}{2} \dot{\varphi}^2 - V(\varphi),
    \label{lagrangiana}
\end{equation}
la quale determina l'equazione del moto 
\begin{equation*}
    \frac{d}{dt}\frac{\partial(L_\varphi a^3)}{\partial
    \dot{\varphi}}-\frac{\partial(L_\varphi a^3)}{\partial \varphi}= 0,
\end{equation*}
ovvero
\begin{equation}
    \ddot{\varphi} + 3H \dot{\varphi} + V'(\varphi) = 0,
    \label{moto1}
\end{equation}
dove, qui come ovunque non sia specificato diversamente, `` $\dot{}$ '' indica la derivata
totale rispetto al tempo e `` $'$ '' la derivata parziale rispetto a
$\varphi$.\\
Dall'equazione (\ref{moto1}) è evidente che la dinamica del campo è analoga
a quella di
un punto materiale di massa unitaria in uno spazio unidimensionale, soggetto
a un potenziale $V(\varphi)$ e in presenza di un attrito viscoso con
coefficiente d'attrito $3H$. Le altre componenti dell'universo (materia e
radiazione) influenzano la dinamica del campo determinando la dipendenza
temporale di $H$ secondo le equazioni di Friedmann.\\
Sebbene il campo scalare non sia un fluido produce una densità di energia e
una pressione effettive 
\begin{equation}
    \rho_\varphi = \frac{1}{2} \dot{\varphi}^2 + V(\varphi),
    \label{densita}
\end{equation}
\begin{equation}
    p_\varphi = \frac{1}{2} \dot{\varphi}^2 - V(\varphi),
    \label{pressione}
\end{equation}
e l'equazione di stato effettiva è dunque
\begin{equation}
    w_\varphi = \frac{\frac{1}{2} \dot{\varphi}^2 - V(\varphi)}{\frac{1}{2}
    \dot{\varphi}^2 + V(\varphi)}.
    \label{w di phi}
\end{equation}
Osserviamo che l'energia associata al campo è esattamente quella della
particella nell'analogia classica istaurata dall'equazione del moto
(\ref{moto1}). La pressione coincide invece con la lagrangiana.\\
Supponiamo che l'universo sia dominanto da un campo scalare 
la cui energia potenziale domini l'energia totale in maniera da avere $w < -1/3$. La presenza
del campo renderebbe conto dell'\emph{espansione accelerata}.
Inoltre, se le soluzioni dell'equazioni del moto convergessero ad un'unica
soluzione per un vasto bacino di condizioni iniziali, esse 
condurrebbero alla medesima evoluzione dell'universo e il campo
scalare risolverebbe dunque il problema delle \emph{condizoni iniziali}.
\vspace{2mm}

In questo lavoro di tesi si studierà sotto quali condizioni
la presenza del campo scalare, in aggiunta alla materia e alla radiazione,
risolverebbe il problema delle condizioni iniziali.\\
Si richiederà che l'universo venga condotto in un
periodo di espansione accelerata. Questa condizione vincola la dinamica del
campo: esso deve diventare dominante e evolvere lentamente lungo il
potenziale, cos\`i che si abbia $w<-1/3$.\\
Inizialmente studieremo l'esistenza e la dinamica delle soluzioni
attrattrici (sezione \ref{dinamica del campo}),
proseguiremo analizzando l'evoluzione dell'universo nei casi specifici di
due potenziali (sezione \ref{esempi}). La sezione \ref{conclusioni}
contiene alcune conclusioni e commenti finali. In appendice sono riportati
la dimostrazione di alcune equazioni fondamentali per lo studio
svolto (\ref{deriva moto2}, \ref{app:gamma}), i calcoli relativi agli esempi
(\ref{app:sol esp}, \ref{sol legge pot}) e l'analisi di un'equazione
ricorrente nella verifica della stabilità delle soluzioni
attrattrici (\ref{app:stabilita}).



\section{Evoluzione dinamica di un campo scalare}
\label{dinamica del campo}
\subsection{Campi scalari e soluzioni attrattrici}
Lo studio della dinamica del campo scalare si concentrerà sulla ricerca e
sulla caratterizzazione di una soluzione attrattrice. 
Per \emph{soluzione attrattrice} si intende una soluzione
dell'equazione del moto, per un dato iniziale particolare, alla quale
convergono le soluzioni per dati iniziali appartenenti a un dato intervallo,
chiamato bacino di attrazione\footnote{Più formalmente, $\tilde{\varphi}(t)$, soluzione
dell'equazione del moto per il dato inizilale $(\tilde{\varphi}_0,
\dot{\tilde{\varphi}}_0)$, è una soluzione attrattrice con bacino di
attrazione $I$ se per ogni $(\varphi_0, \dot{\varphi}_0) \in I$ la soluzione $\varphi(t)$
per quel dato iniziale soddisfa  
\begin{equation*}
    \lim_{t \to \infty}{|\varphi(t)-\tilde{\varphi(t)}|}=0.
\end{equation*}
}.

In questa analisi considereremo l'universo composto soltanto da un campo
scalare ($\varphi$) e da un \emph{background} ($B$), composto da materia e
radiazione.\\
\`E opportuno riscrivere l'Eq.(\ref{moto1}) in una forma, apparentemente più complicata, alla quale ci si
riferirà in seguito come \emph{equazione del moto} (la derivazione è in
appendice \ref{deriva moto2})
\begin{equation}
    \pm \frac{V'}{V} = 3 \sqrt{\frac{k}{\Omega_\varphi}} \sqrt{1+w_\varphi}
    \left[ 1 + \frac{1}{6} \frac{d \ln{x}}{d \ln{a}} \right],
    \label{moto2}
\end{equation}
dove $x = (1+w_\varphi)/(1-w_\varphi) = (\dot{\varphi}^2/2)/V$ e $\pm$
corrisponde al segno di $V'$.\\
Una funzione importante nell'analisi svolta da \citet{art:CTS} è
\begin{equation*}
    \Gamma \equiv \frac{V''V}{(V')^2} .
\end{equation*}
L'equazione del moto permette di ottenere un'utile espressione di $\Gamma$
(il calcolo dettagliato è riportato in appendice \ref{app:gamma})
\begin{equation}
    \Gamma = 1 + \frac{3(1-\Omega_\varphi)(w_B
    -w_\varphi)}{(1+w_\varphi)(6 + \dot{x})}-
    \frac{1-w_\varphi}{2(1+w_\varphi)}
    \frac{\dot{x}}{6+\dot{x}} -
    \frac{2}{1+w_\varphi}\frac{\ddot{x}}{(6+\dot{x})^2}.
    \label{gamma}
\end{equation}
Sottolineamo che il risultato non è valido quando $w_\varphi = \pm 1$ ma è
sempre valido per $w_\varphi \to \pm 1$.
L'espressione (\ref{gamma}) differisce da quella trovata da \citet{art:CTS}.
In particolare il secondo addendo risulta qui moltiplicato per
$6(1-\Omega_\varphi)/(6+\dot{x})$, ciò porta a conclusioni differenti quando
$\Omega_\varphi$ è sensibilmente diverso da zero.

$\Gamma$ è legata all'esistenza e ad alcune proprietà della soluzione
attrattrice\cite{art:CTS}.
\textit{
\begin{itemize}
    \item $\Gamma > 1$ e $\Gamma \approx cost$ allora la soluzione attrattrice
        esiste con $w_\varphi < w_B$;
    \item $1-(1-w_B)/(6+2w_B) < \Gamma < 1$ e $\Gamma \approx cost$ allora
        la soluzione attrattrice esiste con $w_B < w_\varphi <
        (1+w_B)/2$;
    \item $\Gamma <  1-(1-w_B)/(6+2w_B)$ allora non esiste una soluzione
        attrattrice.
\end{itemize}
per $\Gamma \approx cost$ si richiede che sia verificata
\begin{equation*}
    \left| ( \Gamma -1 )^{-1} \frac{d (\Gamma -1)}{H dt}
    \right| \approx \left| \frac{\Gamma'}{\Gamma \frac{V'}{V}} \right| \ll
    1.
\end{equation*}
}
\label{teorema}
Il caso di interesse per la cosmologia è il primo dal momento che all'epoca
presente, in cui il background è sostanzialmente la materia, si osserva
$w_\varphi < - 1/3 < 0 = w_B$. D'ora in avanti verranno considerati
potenziali per cui $\Gamma > 1$ ovvero
$\left| V'/V \right|$ decresce quando $V$ decresce \footnote{
$\text{sign}V'\left| \frac{V'}{V} \right|' = \left( \frac{V'}{V} \right)' = \frac{V''V-(V')^2}{V^2} = \left( \Gamma -1
\right)\left( \frac{V'}{V} \right)^2 > 0 $ quindi $\text{sign}V' =
\text{sign}\left| \frac{V'}{V} \right|'$.}.
Si considera come istante iniziale la fine dell'inflazione, un periodo di
espansione esponenziale nelle prime fasi dell'universo. Ogni quantità
riferita a tale istante verrà indicata il pedice $i$.
Un range di condizioni iniziali plausibili è quello compreso tra l'attuale
densità critica $\rho_{c0}$ e la densità di background
$\rho_{Bi}$, un intervallo estremamente vasto, che spazia su circa 100 ordini
di grandezza.

\subsection{Vincoli sul potenziale}
Il potenziale $V(\varphi)$ riveste particolare importanza nel modello di
energia oscura sotto forma di un campo scalare che evolve lentamente. 

\emph{L'esistenza di una soluzione attrattrice} è legata al potenziale.
Nella sezione \ref{teorema} è presentata una condizione sufficiente perché
essa si verifichi. Il problema
delle condizioni iniziali viene risolto: per un insieme estremamente ampio
di condizioni iniziali le soluzioni
dell'equazione del moto convergono alla soluzione attrattrice.\\
Le osservazioni impongono dei vincoli sulla dinamica del campo, i quali si
traducono in vincoli sul potenziale poiché solo da esso dipende la soluzione
attrattrice.

All'epoca presente \emph{l'equazione di stato deve essere sufficientemente
piccola ($w_\varphi < -1/3$)} perché venga prodotta un'espansione
accelerata; ciò impone un'evoluzione lenta del campo che si traduce in
restrizioni sulla ``pendenza del potenziale''.

\emph{Il valore di $\Omega_\varphi$ all'epoca presente} deve essere circa
0.7 e si ottiene fissando i parametri liberi del potenziale.

\emph{Il valore di $\Omega_\varphi$ all'epoca della formazione delle
strutture cosmiche} deve essere molto piccolo, altrimenti la forza
repulsiva prodotta da una forma di energia con pressione negativa
avrebbe impedito alla materia di collassare.

\subsection{La soluzione attrattrice}
La soluzione attrattrice è l'unica di reale interesse per la dinamica
asintotica del campo.
Almeno nel periodo di formazione delle strutture cosmiche il background deve
essere la componente dominante dell'universo. 
L'ideale sarebbe che, analogamente a
quanto accade nel modello $\Lambda CDM$, l'energia oscura rimanga
una componente subdominante per tutta l'evoluzione dell'universo e solo
recentemente diventi una frazione consistente dell'energia totale.\\
Per questi motivi studiamo innanzitutto la dinamica della soluzione
attrattrice quando il background è dominante.

In queste condizioni esiste una soluzione $\varphi(t)$ lungo la quale
$\dot{x}=0$\cite{art:CTS}\footnote{In realtà si dimostra che esiste una
soluzione tale per cui $\dot{x}=0$ solo se $\Gamma$ è esattamente costante} 
o, equivalentemente, $\dot{\varphi}^2/2 = C V$ con
$C = cost$. Dimostriamo che questa soluzione è attrattrice.
Osserviamo che l'Eq.(\ref{moto1}) può essere riscritta come
\begin{equation*}
    \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}\dot{\varphi}^2 + V \right) = -3 H
    \dot{\varphi}^2.
\end{equation*}
Poiché $\varphi(t)$ è soluzione otteniamo che lungo di essa vale 
\begin{equation*}
    (1+C)\frac{d V}{d t} = -6HV.
\end{equation*}
Quando l'universo è dominato da un fluido con equazione di stato $w$ si dimostra che\footnote{Per l'Eq.(\ref{a di t}) $H =
\frac{\dot{a}}{a} = \frac{2}{3(1+w)}
\frac{t^{\frac{2}{3(1+w)}-1}}{t^{\frac{2}{3(1+w)}}} = \frac{2}{3(1+w)}
\frac{1}{t}$.}
\begin{equation}
    H = \frac{2}{3(1+w)} \frac{1}{t}.
    \label{H di t}
\end{equation}     
Pertanto la precedente equazione diventa
\begin{equation*}
    \frac{d V}{dt} = -\frac{4C}{(1+C)(1+w_B)}\frac{V}{t} \equiv - \gamma
    \frac{V}{t}.
\end{equation*}
Si ottiene la dipendenza temporale del potenziale lungo $\varphi(t)$
\begin{equation*}
    V = V_i t^{-\gamma},
\end{equation*}
dove $V_i \equiv V(t_i \equiv 1)$. Ricaviamo la velocità
\begin{equation*}
    \dot{\varphi} = \sqrt{2CV_i}t^{-\frac{\gamma}{2}},
\end{equation*}
che usiamo per determinare $V'$ e $V''$ lungo la
soluzione
\begin{align*}
    V' &= \frac{1}{\dot{\varphi}}\frac{d V}{dt} = -\gamma
    \sqrt{\frac{V_i}{2C}}t^{-\frac{\gamma}{2}-1},\\
    V'' &= \frac{1}{\dot{\varphi}}\frac{d V'}{dt} =
    \frac{\gamma \left( \frac{\gamma}{2}+1\right)}{2C}
    t^{-2} \equiv \eta t^{-2}.
\end{align*}
Osserviamo che $\eta>0$ dal momento che $\gamma>0$.\\
Siamo pronti a dimostrare la stabilità di $\varphi(t)$:
verifichiamo che una sua perturbazione $\delta(t)$ decresce col tempo.\\
Poiché $\varphi(t) + \delta(t)$ è soluzione, vale
\begin{equation*}
    \ddot{\varphi} + \ddot{\delta} + 3H\dot{\varphi}
    +3H\dot{\delta} + V'(\varphi + \delta) = 0.
\end{equation*}
Per piccole perturbazioni vale $V'(\varphi + \delta) = V'(\varphi) +
V''(\varphi)\delta$.
Otteniamo quindi l'equazione differenziale alla quale obbediscono le perturbazioni della
soluzione $\varphi(t)$
\begin{equation*}
    \ddot{\delta} +\frac{2}{1+w_B}\frac{\dot{\delta}}{t} + \eta
    \frac{\delta}{t^2}= 0.
\end{equation*}
Poiché $2/(1+w_B)>1$ e $\eta>0$ si dimostra che (vedi appendice
\ref{app:stabilita}) le soluzioni sono tutte decrescenti.\\
Abbiamo dimostrato che soluzioni sufficientemente vicine a
$\varphi(t)$ convergono su di essa. Nella sezione \ref{attrazione} si
mostra che questa condizione viene raggiunta da soluzioni che partono anche
molto lontane da $\varphi(t)$.

Studiamo ora il comportamento della soluzione che abbiamo dimostrato essere attrattrice.\\
Lungo di essa $\dot{x}$ e quindi $\ddot{x}$ sono nulli. $\Gamma$, Eq.(\ref{gamma}), si riduce a 
\begin{equation}
    \Gamma = 1 + \frac{(1-\Omega_\varphi)(w_B
    -w_\varphi)}{2(1+w_\varphi)};
    \label{gamma attrattore}
\end{equation}
esplicitando l'equazione di stato del campo otteniamo
\begin{equation}
    w_\varphi = \frac{(1-\Omega_\varphi)w_B - 2(\Gamma
    -1)}{(1-\Omega_\varphi)+ 2(\Gamma -1)}.
    \label{w_phi}
\end{equation}
Ricordiamo che questo risultato vale solo quando $\Omega_\varphi \ll
\Omega_B$ e che stiamo considerando solo potenziali per cui $\Gamma \approx
cost >1$.\\
L'espressione (\ref{w_phi}) che abbiamo trovato per l'equazione di stato del campo scalare
merita le seguenti importanti osservazioni.
\begin{enumerate}
    \item \emph{Si verifica sempre che $w_\varphi<w_B$} e quindi $\rho_\varphi$ è
        destinata a dominare l'universo (vedi Eq.(\ref{rho di a})). Infatti sommando e
        sottraendo $2(\Gamma -1)w_B$ si ottiene facilmente
        \begin{equation*}
            w_\varphi = w_B - \frac{w_B +
            1}{\frac{1-\Omega_\varphi}{2(\Gamma-1)}+1} \equiv w_B -
            (1+w_B)\beta.
        \end{equation*}
        \`E evidente che $1+w_B > 1$ e $0<\beta<1$, quindi $w_\varphi < w_B$.
    \item Il campo dunque non è inizialmente la componente dell'universo
        dominante ma è destinata a diventarlo. Cerchiamo di legare il
        potenziale alla velocità con cui ciò avviene. Osservando che
        $3(1+w_\varphi) = 3(1+w_B)(1-\beta) $, si ricava facilmente 
        dall'Eq.(\ref{rho di a}) $\rho_\varphi/\rho_B =
        (\rho_{\varphi i}/\rho_{Bi})(a/a_i)^{3(1+w_B)-3(1+w_\varphi)}$ ovvero
        \begin{equation*}
            \frac{\rho_\varphi}{\rho_B} = \frac{\rho_{\varphi i}}{\rho_{Bi}}
            \left( \frac{a}{a_i} \right)^{3(w_B + 1)\beta}.
        \end{equation*}
        Poiché $a/a_i > 1$, quanto più $\beta$ è vicino a 1 tanto più
        velocemente $\rho_\varphi/\rho_B$ cresce con l'espansione
        dell'universo.
        \`E evidente dalla definizione che $\beta$ è una funzione crescente
        sia di $\Gamma$ che di $\Omega_\varphi$. Deduciamo che \emph{la velocità
        con la quale $\rho_\varphi$ si avvicina alla densità di background è
        tanto maggiore quanto maggiore è $\Gamma$}, cresce all'aumentare di
        $\Omega_\varphi$ ed è maggiore nell'epoca dominata dalla radiazione
        rispetto a quella dominata da materia.
\end{enumerate}

\subsection{Come soluzioni diverse si avvicinano alla soluzione attrattrice}
\label{attrazione}
Nello studio delle soluzioni $\varphi(t)$, che partono da dati iniziali diversi da quello
della soluzione attrattrice $\tilde{\varphi}(t)$ ci limiteremo ad analizzare qualitativamente due
casi estremi: $\rho_{Bi} > \rho_{\varphi i} \gg \rho_{\tilde{\varphi }i} $ e
$\rho_{\tilde{\varphi i}} \gg \rho_{\varphi i} > \rho_{c0}$.
Lungo la soluzione attrattrice $w_\varphi \approx cost$ e
quindi $d \ln{x}/d \ln{a} = 0$, pertanto
è utile riscrivere l'equazione del moto come
\begin{equation*}
    \frac{1}{6}\frac{d \ln{x}}{d \ln{a}} = - \frac{1}{3 \sqrt{k(1 +
    w_\varphi)}}\sqrt{\Omega_\varphi}\frac{V'}{V}-1 \equiv \Delta(t) -1,
\end{equation*}
in cui si è considerato il caso $V'<0$.
Deduciamo che una generica soluzione deve riuscire a mantenere $\Delta
\approx 1$ per unirsi alla soluzione attrattrice. 

Analizziamo il caso $\rho_{Bi} > \rho_\varphi  \gg \rho_{\tilde{\varphi }}$ con partenza a
riposo, ovvero $\dot{\varphi}(t_i)= 0$. La dinamica attraversa quattro fasi.
\begin{enumerate}
    \item $V'/V$ e $\Omega_\varphi$ sono inizialmente grandi,
        dunque 
        \begin{equation*}
            \frac{1}{6}\frac{d \ln{x}}{d \ln{a}} =\frac{1}{3H(1-w_\varphi ^2)}\frac{d \ln{w_\varphi}}{dt} \gg 1
        \end{equation*}
        e
        $w_{\varphi} \rightarrow +1$. Il campo entra in un periodo in cui
        l'energia cinetica è dominante, $\dot{\varphi}$ è grande e
        $V$ decresce rapidamente.

    \item Poiché $w_\varphi \approx 1$, $\rho_\varphi \propto a^{-6}$ e
        quindi $\Omega_\varphi$ decresce, anche $|V'/V|$ decresce dal momento che $\varphi$ sta
        velocemente scendendo lungo il potenziale. Quando $\Delta \approx 1$
        $\varphi(t)$ non può unirsi alla soluzione attrattrice, dal momento
        che $w_\varphi$ non ha avuto modo di decrescere da +1. L'energia
        cinetica è tale che la soluzione attrattrice viene sorpassata.
    \item In questo momento $d \ln{x}/d \ln{a} < 0$, $w_\varphi$
        decresce da +1 ma, quando raggiunge il valore della soluzione
        attrattrice, si ha $\Delta -1 < 0$ e dunque continua a decrescere.
    \item $w_\varphi$ raggiunge $-1$, il campo è fermo a un valore $\varphi_f$ pertanto $|V'/V|\approx cost$, $\rho_\varphi \approx cost$ e
        $\rho_B$ decresce,
        quindi $\Omega_\varphi$ cresce. $\Delta$ torna ad esse maggiore di
        1, $w_\varphi$ cresce e, dopo qualche oscillazione di $x$, il moto si
        unisce alla soluzione attrattrice.
        \label{join}
\end{enumerate}

Nel caso $\rho_{\tilde{\varphi }} \gg \rho_\varphi  > \rho_{c0}$ i valori di
$\Omega_\varphi$, $V$ e quindi $|V'/V|$ sono molto inferiori a
quelli della soluzione attrattrice; pertanto $\Delta<1$ e $w_\varphi$
decresce verso $-1$. La dinamica prosegue ora esattamente come illustrato nel
punto \ref{join}.

Finora si è assunta la velocità iniziale nulla, gli
altri moti non fanno altro che seguire la dinamica sopra descritta, partendo
da fasi diverse. Una soluzione con velocità iniziale $\dot{\varphi}_i \gg
1$ parte già nella fase dominata dall'energia cinetica ed evolve come sopra
descritto.

\begin{figure}[h!]
    \centering
    \subfigure[
    Il grafico mostra l'evoluzione dell'equazione di stato della soluzione attrattrice
    (linea tratteggiata), di una soluzione per cui $\rho_{\varphi i} \gg
    \rho_{\tilde{\varphi }i}$ (linea continua) e di
    una soluzione per cui $\rho_{\tilde{\varphi }} \gg \rho_\varphi$ (linea
    con tratteggi alternati a punti). Nel secondo caso sono ben visibili la
    fase di energia cinetica dominante ($w=1$) e la fase in cui il campo è
    congelato ($w=-1$). Il grafico è il risultato di una risoluzione
    numerica dell'equazione del moto usando come potenziale $V(\varphi) =
    M^{10} \varphi^{-6}$\cite{art:CTS}.
    ]{ \includegraphics[scale=0.485]{convergenza_w.eps} }
    \hspace{\subfigtopskip}
    \subfigure[
    Il grafico mostra l'evoluzione della densità di energia per la radiazione (linea
    tratteggiata alternata a puntini), per la materia
    (linea tratteggiata), per il campo con $\rho_{\varphi i} \gg
    \rho_{\tilde{\varphi }i}$ (linea continua) e con
    $\rho_{\tilde{\varphi }} \gg \rho_\varphi$ (linea
     puntinata). Il tratto in cui la densità di energia rimane costante
     corrisponde al periodo durante il quale il campo è congelato.
    ]{ \includegraphics[scale=0.485]{convergenza_rho.eps} }
\end{figure}



\section{Esempi di potenziale}
\label{esempi}
Nella maggior parte dei casi l'equazione del moto non è risolvibile
analiticamente. Sebbene sia soltanto un moto sotto l'azione di un potenziale
posizionale, frenato da un attrito viscoso, la dipendenza temporale di
$H$ complica le cose.
Si studieranno due tipi di potenziali:
\begin{itemize}
    \item \emph{esponenziale}: $V(\varphi) = V_0
        \exp{(-\frac{\lambda}{M_P}\varphi)}$, $\lambda>0$;
    \item \emph{legge di potenza inversa}: $V(\varphi) =
        M^{4+\alpha}\varphi^{-\alpha}$, $\alpha>0$.
\end{itemize}

\subsection{Potenziale esponenziale}
Il potenziale esponenziale è caratterizzato da $\Gamma = 1$, non rientra
nella categoria di potenziali che abbiamo definito di interesse nella
sezione \ref{teorema} ma si colloca esattamente sul confine. Proprio per
questo motivo è interessante studiare il potenziale esponenziale
separatamente.\\
Questa analisi segue il lavoro di \citet{art:exp} dal quale si discosta
per piccole differenze nell'espressione della soluzione (\ref{attrattore
esp}), comunque ininfluenti per le conclusioni.\\
\`E opportuno analizzare innanzitutto la dinamica del campo  quando
$\rho_\varphi \gg \rho_B$ ovvero risolvere
\begin{equation*}
    \ddot{\varphi} + 3H \dot{\varphi} -\frac{\lambda}{M_P}V_0
    \exp{\left(- \frac{\lambda}{M_P}\varphi \right)} = 0,
\end{equation*}
\begin{equation*}
    H^2 = \frac{1}{3M_P^2}\left( \frac{1}{2}\dot{\varphi}^2 + V_0
    \exp{\left(- \frac{\lambda}{M_P}\varphi \right)}  \right).
\end{equation*}
Si dimostra che (vedi appendice \ref{app:sol esp}) per $\lambda < \sqrt{6}$ esiste una soluzione attrattrice 
\begin{equation}
    \varphi(t) = \varphi_0 + \frac{2M_P}{\lambda}\ln{(tM_P)} ,\;\;\;\;\;\;\; \varphi_0 =
    \frac{M_P}{\lambda}\ln{\left( \frac{V_0}{2M_P^4}
    \frac{\lambda^4}{6-\lambda^2} \right)},
    \label{attrattore esp}
\end{equation}
e lungo questa soluzione
\begin{equation*}
    a \propto t^{\frac{2}{\lambda^2}}; \;\;\;\;\;\;\;\;\;
    \rho_\varphi \propto a^{-\lambda^2}; \;\;\;\;\;\;\;\;\; 
    w_\varphi = \frac{\lambda^2}{3}-1.
\end{equation*}

Studiamo ora come la dinamica del campo viene modificata dalla presenza di
un'energia di background caratterizzata da un certo $n=3(1+w_B)$.
L'effetto di $\rho_B$ è quello di accrescere il termine di
frenamento della (\ref{moto1}) e quindi di rallentare la riduzione di
$\rho_\varphi$ col crescere del fattore di scala: $\rho_\varphi \propto
1/a^{\lambda^2 -\delta}$ con $0 \leqslant \delta \leqslant \lambda^2 $.\\
Si distinguono due casi caratterizzati da comportamenti asintotici molto
differenti.

Se $\lambda < \sqrt{n}$, $\rho_\varphi$ decresce più
lentamente di $\rho_B$ e, diventata la componente dominante
dell'universo, si unisce alla soluzione attrattrice (\ref{attrattore esp}).  

Se $\lambda > \sqrt{n}$, asintoticamente $\rho_\varphi
\propto 1/a^{n}$ ovvero l'energia del campo e quella del background
decrescono con la stessa potenza del fattore di scala.\\
Per il campo scalare questa potenza è $\lambda^2 -\delta$,
per il background è $n$.
Se $\lambda^2 -\delta> n$, l'energia di background decresce più lentamente
rispetto a quella del campo. Il
background diventa sempre più dominante e quindi $\delta$ cresce.\\
Se invece $\lambda^2 -\delta< n$, $\rho_\varphi$ decresce più lentamente di
$\rho_B$. $\Omega_B$ diminuisce e di conseguenza $\delta$ decresce.\\
Il sistema converge verso una situazione in cui $\lambda^2 - \delta = n$
ovvero $3(1+w_\varphi) = 3(1+w_B)$. Segue che $w_\varphi = w_B$ e quindi
\begin{equation*}
    \frac{d \ln{x}}{d \ln{a}} = 0.
\end{equation*}
Osserviamo anche che, assumendo si abbia $\ddot{x}=\dot{x}=0$ lungo una soluzione, 
l'Eq.(\ref{gamma}) impone $w_\varphi = w_B$ per ogni
$\Omega_\varphi \neq 1$.\\
Se $w_\varphi = w_B$ l'equazione del moto si riduce a
\begin{equation*}
    \frac{V'}{V} = 3 \sqrt{\frac{k}{\Omega_\varphi}}\sqrt{1+w_B}.
\end{equation*}
Ricordando che $k = 1/(3M_P^2)$ e $V'/V = -\lambda/M_P$, si ricava
\begin{equation*}
    \Omega_\varphi = \frac{3(1+w_B)}{\lambda^2}.
\end{equation*}
Il campo finisce per costituire una frazione costante dell'energia
totale, dipendente esclusivamente dalla natura del background e dal
parametro $\lambda$ del potenziale, non dalle condizioni iniziali né dalla dinamica seguita dal campo
prima che si verificasse $w_\varphi = w_B$.

Il comportamento del campo soggetto a un potenziale esponenziale è dunque
legato al valore di $\lambda$.
\begin{itemize}
    \item Se $\lambda>2$ il campo costituisce una
        frazione costante dell'energia totale sia nell'epoca dominata da
        radiazione che in quella dominata dalla materia; se $\sqrt{3} <\lambda < 2$
        ciò avviene soltanto nell'epoca dominata da materia. Entrambi gli
        scenari non soddisfano le osservazioni. 
        Durante tutta l'epoca in cui il background è costituito
        sostanzialmente dalla materia, e dunque anche all'epoca presente, il
        campo sarebbe caratterizzato da
        un'equazione di stato $w_\varphi = 0$ e non
        si avrebbe alcun periodo di espansione accelerata.

    \item Se $\lambda < \sqrt{3}$ il campo è asintoticamente dominante e segue la soluzione
        attrattrice (\ref{attrattore esp}). La sua equazione di stato è
        $w_\varphi = \lambda^2/3 -1$. L'universo viene condotto in
        un periodo di espansione accelerata solo se $w_\varphi<
        -1/3$ ovvero se $\lambda< \sqrt{2}$. Affinchè $\Omega_\varphi$
        all'epoca presente corrisponda al valore osservato si fissa
        $V_0$ a un valore opportuno.
\end{itemize}

Concludendo, il potenziale esponenziale presenta per $\lambda < \sqrt{6}$
una soluzione attrattrice ma solo per $\lambda <\sqrt{2}$ queste
soluzioni conducono l'universo in un periodo di espansione accelerata.


\newpage
\subsection{Potenziale a legge di potenza inversa}
Per il potenziale a legge di potenza inversa si ha $\Gamma = 1 +
\alpha^{-1}>0$. Studiamo questo potenziale come esempio dell'ampia famiglia
di potenziali considerata precedentemente.

Analizziamo l'evoluzione del campo in un universo in cui il background è
dominante.\\
Si verifica che (vedi appendice \ref{sol legge pot}) esiste una soluzione
attrattrice
\begin{equation*}
    \varphi(t)=At^C ,\;\;\;\;\;\; C =  \frac{2}{\alpha
    +2},\;\;\;\;\; A=\left[ \frac{C}{\alpha M^{4 + \alpha}} \left( C-1 + \frac{2}{1+w_B}\right)
    \right]^{- \frac{1}{\alpha+2}},
\end{equation*}
lungo la quale l'equazione di stato risulta essere
\begin{equation}
    w_\varphi = \frac{\frac{\alpha}{2}w_B -1}{\frac{\alpha}{2}+1}.
    \label{w_phi di w_B}
\end{equation}
A conferma che la soluzione trovata è proprio la soluzione attrattrice,
osserviamo che l'espressione trovata di $w_\varphi$ corrisponde
al valore che si otterrebbe ponendo $\Gamma = 1+
\alpha^{-1}$ nell'Eq.(\ref{w_phi}).\\
Osserviamo, inoltre, che è verificata l'importante proprietà $w_\varphi < w_B$\footnote{$w_\varphi = \frac{\left(
\frac{\alpha}{2} +1 \right)w_B -w_B-1}{\frac{\alpha}{2}+1} = w_B -
\frac{w_B +1}{1 + \frac{\alpha}{2}}$}.

Dall'Eq.(\ref{w_phi di w_B}) si ricava $3(1+w_\varphi) =
3(1+w_B)/(1+2/\alpha)$; combinando questa espressione con l'Eq.(\ref{rho di
a}) otteniamo
\begin{equation}
    \Omega_\varphi \approx \frac{\rho_\varphi}{\rho_B} =
    a^{\frac{3(1+w_B)}{1+\frac{a}{2}}}.
    \label{rho phi su B}
\end{equation}
Il campo è dunque destinato a diventare dominante qualsiasi sia il
background. L'Eq.(\ref{rho phi su B}) mostra anche il ruolo che gioca
$\alpha$ nel determinare l'epoca alla quale ciò avviene: al
crescere di $\alpha$ diminuisce la velocità con cui cresce $\Omega_\varphi$
e quindi l'epoca di background dominante si protrae più a lungo. 

Possiamo farci un'idea qualitativa dell'evoluzione del campo quando
l'energia ad esso associata comincia a diventare una frazione non
trascurabile dell'energia totale.\\
Supponiamo che l'espressione $H= 2/(3(1+w))$ continui a valere con
$w \approx cost$, si dimostra che $w = w_T \equiv w_B \Omega_B + w_\varphi
\Omega_\varphi$. Una risoluzione dell'equazione del
moto identica alla precedente porta all'Eq.(\ref{w_phi di w_B}) con $w_T$ in luogo di $w_B$.
Esplicitando $w_\varphi$ otteniamo
\begin{equation*}
    w_\varphi = \frac{\frac{\alpha}{2}(1-\Omega_\varphi)w_B
    -1}{\frac{\alpha}{2}(1-\Omega_\varphi) +1}.
\end{equation*}
Da questa relazione qualitativa deduciamo che al crescere di
$\Omega_\varphi$ l'equazione di stato del campo si avvicina a $-1$.

Riassumendo, un campo soggetto al potenziale a legge di potenza inversa rimane
una componente subdominante dell'universo per un periodo tanto più lungo quanto
maggiore è $\alpha$. Al crescere di $\Omega_\varphi$ la sua
equazione di stato si avvicina a $-1$. Diventata la componente dominante
dell'universo l'energia associata al campo si comporta come una costante
cosmologica.

\newpage
\section{Conclusioni}
\label{conclusioni}
Un campo scalare che evolve lentamente lungo un potenziale si manifesterebbe
come un fluido con \emph{pressione negativa}.\\
I campi scalari potrebbero pertanto rendere conto del periodo di espansione
accelerata in cui l'universo è recentemente entrato.\\
Per una classe molto vasta di potenziali i campi scalari producono una
\emph{cosmologia insensibile alle condizioni iniziali}, a differenza del modello
$\Lambda CDM$.\\
Un campo scalare può avere una dinamica molto più varia della costante
cosmologica e sarebbe conciliabile anche con misurazioni dell'equazione di
stato dell'energia oscura diverse da $-1$ e dipendenti dal redshift.

Uno dei limiti dei campi scalari sta nel richiedere comunque operazioni di
\emph{fine tuning} affinché si verifichi la coincidenza
cosmica.\\
Nel modello $\Lambda CDM$ l'energia oscura ha come unico parametro libero la
densità iniziale, essa viene imposta paragonabile alla densità della materia all'epoca presente.\\
Nel modello di energia oscura prodotta da un campo scalare alle condizioni
iniziali si aggiungono i parametri liberi del potenziale. Sotto 
opportuni potenziali l'evoluzione asintotica del campo coincide con la
dinamica di una soluzione attrattrice, la quale è unicamente determinata dai
parametri del potenziale. Tuttavia i loro valori che portano ad avere oggi una
densità di energia oscura paragonabile alla densità di materia
costituiscono un
insieme molto ristretto. Il problema della coincidenza cosmica non viene
risolto dall'esistenza di soluzioni attrattrici, questi campi scalari
infatti sostituiscono alla calibrazione delle condizioni iniziali la
calibrazione dei parametri del potenziale.

\newpage
\appendix
\section{Derivazione dell'equazione del moto}
\label{deriva moto2}
Sommiamo $-\frac{V'}{V}\rho_\varphi =
-\frac{V'}{V}\frac{1}{2}\dot{\varphi}^2 - V'$ ad entrambi i membri della
Eq.(\ref{moto1}) e otteniamo
\begin{align*}
    -\frac{V'}{V}\rho_\varphi &= \ddot{\varphi} + 3 H \dot{\varphi}
    -\frac{V'}{V}\frac{1}{2}\dot{\varphi}^2 \\
    &= 3H \dot{\varphi}\left[ 1 + \frac{1}{3H \dot{\varphi}}\left(
    \ddot{\varphi} -\frac{V'}{V}\frac{1}{2}\dot{\varphi}^2
    \right) \right]\\
    &= 3H \dot{\varphi}\left[ 1+\frac{1}{6} \left( \frac{d \ln{a}}{dt}
    \right)^{-1} \left( \frac{\frac{1}{2}
    \dot{\varphi}^2}{V} \right)^{-1} \left(
    \frac{\dot{\varphi}\ddot{\varphi}}{V}- \frac{1}{2}\dot{\varphi}^2
    \frac{V'\dot{\varphi}}{V^2} \right)\right]\\
    &= 3H \dot{\varphi}\left[ 1+\frac{1}{6} \left( \frac{d \ln{a}}{dt}
    \right)^{-1} \left( \frac{\frac{1}{2}
    \dot{\varphi}^2}{V} \right)^{-1} \frac{d}{dt}\left( \frac{\frac{1}{2}
    \dot{\varphi}^2}{V} \right) \right]\\
    &= 3H \dot{\varphi}\left[ 1+\frac{1}{6} \frac{d \ln{x}}{d \ln{a}} \right]\\
\end{align*}
dove si è usato $H = \frac{d \ln{a}}{dt}$ e $\frac{d}{dt}\left(
\frac{\frac{1}{2} \dot{\varphi}^2}{V} \right) =
\frac{\dot{\varphi}\ddot{\varphi}}{V}- \frac{1}{2}\dot{\varphi}^2
\frac{V'\dot{\varphi}}{V^2}$. \\
Dividendo per $\rho_\varphi$ si ottiene
\begin{equation*}
    - \frac{V'}{V} = 3 \sqrt{k \frac{\frac{H^2}{k}}{\rho_\varphi}}
    \sqrt{\frac{\dot{\varphi}^2}{\rho_\varphi}}
    \left[ 1 + \frac{1}{6} \frac{d \ln{x}}{d \ln{a}} \right] \text{sign}H
    \text{ sign}\dot{\varphi}
\end{equation*}
L'universo è considerato sempre in espansione, quindi $\text{sign}H = 1$. \`E
evidente dall'Eq.(\ref{moto1}) che $\text{sign}\dot{\varphi} = -\text{sign}V'$.
Applicando le definizioni di $\Omega_\varphi$ e $w_\varphi$, si ottiene
l'equazione del moto.

\section{Dimostrazione dell'espressione di $\Gamma$ Eq.(\ref{gamma})}
\label{app:gamma}
Cerchiamo un'espressione di $\Gamma$ che sia funzione dell'equazione del
moto.
\begin{equation*}
    \left( \frac{V'}{V} \right)' = \frac{V''V + (V')^2}{V^2} = (\Gamma
    -1)(\frac{V'}{V})^2,
\end{equation*}
da cui si ricava
\begin{equation*}
    \Gamma = 1 - \left( \frac{V}{V'} \right)'.
\end{equation*}
Osserviamo che
\begin{align*}
    \frac{\de}{\de \varphi} &= \frac{H}{\dot{\varphi}}\frac{d}{d
    \ln{a}} = \text{sign}\dot{\varphi}
    \sqrt{\frac{\rho_\varphi}{\dot{\varphi}^2}}\sqrt{\frac{H^2}{\rho_\varphi}}\frac{d}{d
    \ln{a}} \\
    &= \frac{\text{sign}\dot{\varphi}}{\sqrt{1+w_\varphi}}\sqrt{\frac{k}{\Omega_\varphi}}\frac{d}{d
    \ln{a}};\\
    \frac{d}{d \ln{a}} &= \frac{1}{H}\frac{d}{dt}.
\end{align*}
Calcoliamo delle derivate che serviranno in seguito
\begin{align*}
    \frac{d H}{d \ln{a}} &=  \frac{1}{H}\dot{H} = \frac{1}{H}\left(
    \frac{\ddot{a}}{a} -H^2 \right) = -\frac{3}{2}\frac{k}{H}(\rho_B + P_B +
    \rho_\varphi + P_\varphi)\\
    &= -\frac{3}{2}H[1+w_B-(w_B -w_f)\Omega_\varphi];\\
    %--
    \frac{d \rho_\varphi}{d \ln{a}} &= \frac{d}{d \ln{a}} C
    a^{-3(1+w_\varphi)} = \frac{d}{d \ln{a}} C
    e^{-3(1+w_\varphi)\ln{a}} \\
    &= -3(1+w_\varphi)\rho_\varphi;\\
    %--
    \frac{d}{d \ln{a}} \left( \frac{\Omega_\varphi}{k} \right) &=
    -2 \frac{\rho_\varphi}{H^3}\frac{d H}{d \ln{a}} +
    \frac{1}{H^2}\frac{d \rho_\varphi}{d \ln{a}} =
    3 \frac{\Omega_\varphi}{k}(w_B -w_\varphi - (w_B -
    w_\varphi)\Omega_\varphi)\\
    &= 3 \frac{\Omega_\varphi}{k}(w_B -
    w_\varphi)(1-\Omega_\varphi);
\end{align*}
Infine da
\begin{equation*}
    \dot{x} = \frac{d \ln{x}}{d \ln{a}} =
    \frac{2}{1-w_\varphi^2}\frac{d w_\varphi}{d \ln{a}}
\end{equation*}
ricaviamo
\begin{equation*}
     \frac{d w_\varphi}{d \ln{a}}=
     \frac{1-w_\varphi^2}{2}\dot{x}.
\end{equation*}
Siamo ora pronti a calcolare $(V/V')'$ utilizzando l'equazione del moto; si
ricordi che $\dot{\varphi}$ ha segno opposto a $V'$.
\begin{align*}
    \left( \frac{V}{V'} \right)' &= 2\text{sign}V'\frac{\de}{\de \varphi}\left[ 
    \sqrt{\frac{\Omega_\varphi}{k}}\frac{1}{\sqrt{1+w_\varphi}}\frac{1}{6+\dot{x}}
    \right] \\
    &= 2 \text{sign}V'\text{sign}\dot{\varphi}\left[
    \frac{1}{(1+w_\varphi)(6+\dot{x})}\frac{\Omega_\varphi}{2k}\frac{d}{d
    \ln{a}}\left( \frac{\Omega_\varphi}{k} \right) -
    \frac{1}{2(1+w_\varphi)^2(6+\dot{x})}\frac{d w_\varphi}{d \ln{a}}-
    \frac{1}{1+w_\varphi}\frac{\ddot{x}}{(6+\dot{x})^2} \right]\\
    &= - \frac{3(1-\Omega_\varphi)(w_B
    -w_\varphi)}{(1+w_\varphi)(6+\dot{x})} -
    \frac{1-w_\varphi}{2(1+w_\varphi)}\frac{\dot{x}}{6+\dot{x}} +
    \frac{2}{1+w_\varphi}\frac{\ddot{x}}{(6+\dot{x})^2}.
\end{align*}
\`E ora immediato ricavare l'espressione di $\Gamma$. 

\section[Soluzione dell'equazione del moto per il potenziale esponenziale]{Soluzione dell'equazione del moto ($V(\varphi) =
V_0\exp{(-\frac{\lambda}{M_P}\varphi)}$, $\rho_\varphi \gg \rho_B$)}
\label{app:sol esp}
Cerchiamo una soluzione attrattrice per $\lambda<\sqrt{6}$.\\
L'Eq.(\ref{moto1}) diventa
\begin{equation}
    \ddot{\varphi} + 3H\dot{\varphi}
    -\frac{\lambda}{M_P}\exp{\left( -\frac{\lambda}{M_B}\varphi \right)} =
    0.
    \label{moto esp}
\end{equation}
Cerchiamo una soluzione del tipo $\varphi(t) = A \ln{(Ct)}$. Imponiamo
$-\frac{\lambda}{M_P}A = -2$ ovvero $A = 2\frac{M_P}{\lambda}$, renderà gli
addendi dell'Eq.(\ref{moto esp}) tutti dipendenti dalla stessa potenza del
tempo. Si ha dunque
\begin{equation*}
    \varphi(t) = \frac{2M_P}{\lambda}\ln{(Ct)};\;
    \dot{\varphi}_t = \frac{2M_P}{\lambda}\frac{1}{t};\; 
    \ddot{\varphi}_t = -\frac{2M_P}{\lambda}\frac{1}{t^2} ;\;
    V(\varphi(t)) = \frac{V_0}{C^2}\frac{1}{t^2} ;\;
    V'(\varphi) = -\frac{M_P V_0 }{\lambda C^2} \frac{1}{t^2}.
\end{equation*}
Il parametro di Hubble risulta essere
\begin{equation*}
    H = \left[ \frac{1}{3M_P} \left( \frac{1}{2}
    \frac{4M_P^2}{\lambda^2}\frac{1}{t^2} +
    \frac{V_0}{C^2}\frac{1}{t^2}\right) \right]^{\frac{1}{2}} =
    \frac{1}{3}\left[ \frac{6}{\lambda^2} + \frac{3V_0}{M_P^2 C^2}
    \right]^{\frac{1}{2}} \frac{1}{t}.
\end{equation*}
Inserendo la $\varphi(t)$ nell'equazione del moto otteniamo
\begin{equation*}
    -\frac{2M_P}{\lambda} + \left[ \frac{6}{\lambda^2} +
    \frac{3V_0}{M_P^2 C^2} \right]^{\frac{1}{2}} \frac{2M_P}{\lambda}
    \frac{1}{t^2} - \frac{M_P V_0 }{\lambda C^2} \frac{1}{t^2} = 0.
\end{equation*}
Moltiplichiamo ora per $\frac{\lambda}{2M_P}t^2$, isoliamo la radice,
eleviamo al quadrato e infine moltiplichiamo per $C^4$.\\
Otteniamo
\begin{equation*}
    \left( 1-\frac{6}{\lambda^2} \right)C^4 + \frac{V_0}{M_P^2}\left(
    \lambda^2-3 \right)C^2 + \frac{V_0^2 \lambda^4}{4M_P^4} = 0.
\end{equation*}
Si ricavano due soluzioni $C^2_1 = -\frac{V_0}{2M_P^2}\lambda^2$ e $C^2_2 =
\frac{V_0}{2M_P^2} \frac{\lambda^4}{6-\lambda^2}$. La prima non è mai
accettabile, la seconda lo è per $\lambda<\sqrt{6}$. Con semplici
aggiustamenti si ottiene l'espressione della soluzione
\begin{equation*}
    \varphi(t) = \varphi_0 + \frac{2M_P}{\lambda}\ln{(tM_P)} ;\;\;\;\;\;\;\; \varphi_0 =
    \frac{M_P}{\lambda}\ln{\left( \frac{V_0}{2M_P^4}
    \frac{\lambda^4}{6-\lambda^2} \right)}.
\end{equation*}
Usiamo la soluzione trovata per ricavare $w_\varphi$. Consideriamo
l'espressione di $H$ esplicitando $C$
\begin{equation*}
    H =
    \frac{1}{3}\left[ \frac{6}{\lambda^2} +
    \frac{6}{\lambda^2}\frac{6-\lambda^2}{\lambda^2}
    \right]^{\frac{1}{2}} \frac{1}{t} =
    \frac{2}{\lambda^2}\frac{1}{t}.
\end{equation*}
Ricordando che $H = \frac{d \ln{a}}{dt}$ si ottiene
\begin{equation*}
    a \propto t^{\frac{2}{\lambda^2}},
\end{equation*}
che confrontata con l'Eq.(\ref{a di t}) permette di ricavare $w_\varphi =
\lambda^2/3 -1$ e quindi $\rho_\varphi \propto a^{-\lambda^2}$.

Verifichiamo la stabilità della soluzione. 
Osserviamo che per  piccole perturbazioni vale $V'(\varphi + \delta) = V'(\varphi) +
V''(\varphi)\delta = V'(\varphi) + 2(6/\lambda^2 -1)\delta/t^2$, pertanto la
dinamica della perturbazione obbedisce alla seguente equazione differenziale
\begin{equation}
    \ddot{\delta} + \frac{6}{\lambda^2}\frac{\dot{\delta}}{t} +
    2\left(\frac{6}{\lambda^2} -1\right)\frac{\delta}{t^2} = 0,
\end{equation}
con $6/\lambda^2>1$ e $2(6/\lambda^2 -1) > 0$. Come dimostrato in
appendice \ref{app:stabilita} le soluzioni sono decrescenti e quindi
$\varphi(t)$ è stabile.


\section[Soluzione dell'equazione del moto per il potenziale a legge di
potenza inversa]{Soluzione dell'equazione del moto ($V(\varphi) = M^{4+\alpha}
\varphi^{-\alpha}$, $\rho_B \gg \rho_\varphi$)}
\label{sol legge pot}
Cerchiamo una soluzione e dimostriamone la stabilità.\\
Verifichiamo che $\varphi(t) = At^C$ può essere soluzione per opportuni
valori di $A$ e $C$.
Sostituiamo $\varphi(t)$ nell'Eq.(\ref{moto1}), utilizziamo
l'espressione di $H$ Eq.(\ref{H di t}) e denotiamo momentaneamente $V_1 = M_P^{(4+\alpha)}$
\begin{equation*}
    AC(C-1)t^{C-2} + \frac{2}{1+w_B}ACt^{C-2}-\alpha V_1 A^{-(\alpha +1)}
    t^{-C(\alpha+1)} = 0.
\end{equation*}
Imponendo gli esponenti del tempo uguali, ottieniamo il vincolo su $C$
\begin{equation*}
    C = \frac{2}{\alpha +2},
\end{equation*}
e il vincolo su $A$, imponendo la somma dei coefficienti nulla
\begin{equation*}
    A = \left[ \frac{C}{\alpha V_1} \left( C-1 + \frac{2}{1+w_B}\right)
    \right]^{- \frac{1}{a+2}}.
\end{equation*}
Ricaviamo l'equazione di stato lungo la soluzione $At^C$
\begin{equation*}
    w_\varphi = \frac{\frac{1}{2}A^2 C^2 t^{2(C-1)} - V_1
    A^{-\alpha}t^{-\alpha C}}{\frac{1}{2}A^2 C^2 t^{2(C-1)} + V_1
    A^{-\alpha}t^{-\alpha C}}.
\end{equation*}
Osserviamo che $2(C-1) = -\alpha C$. Dividiamo numeratore e denominatore per
$\frac{1}{2} A^2 t^{-\alpha C}$, otteniamo
\begin{equation*}
    w_\varphi = \frac{C^2 -2 V_1 A^{-(\alpha +2)}}{C^2 +2 V_1 A^{-(\alpha
    +2)}}.
\end{equation*}
Esplicitiamo $A$ e dividiamo numeratore e denominatore per $C$,
successivamente esplicitiamo $C$
\begin{equation*}
    w_\varphi = \frac{C- \frac{2}{\alpha}\left( C-1 +
    \frac{2}{1+w_B} \right)}{C+ \frac{2}{\alpha}\left( C-1 +
    \frac{2}{1+w_B} \right)} = \frac{\frac{2}{2+\alpha} + \frac{2}{2+\alpha} -
    \frac{4}{\alpha(1+w_B)}}{\frac{4}{\alpha(1+w_B)}} =
    \frac{\alpha(1+w_B)}{\alpha +2} -1 = \frac{\alpha w_B - 2}{\alpha+2}.
\end{equation*}
Otteniamo infine l'espressione dell'equazione di stato
\begin{equation*}
    w_\varphi = \frac{\frac{\alpha}{2}w_B -1}{\frac{\alpha}{2}+1}.
\end{equation*}
Dimostriamo che la soluzione trovata è stabile. La dinamica della
perturbazione è vincolata alla seguente equazione differenziale 
\begin{equation*}
    \ddot{\delta}+\frac{2}{1+w_B}\frac{\dot{\delta}}{t}+ V_1
    A^{-(\alpha+2)}\frac{\delta}{t^2}=0.
\end{equation*}
Poiché $2/(1+w_B)>1$ e $V_1 A^{-(\alpha+2)}>0$ si dimostra che (vedi
appendice \ref{app:stabilita}) le soluzioni sono sempre decrescenti.

\section{Soluzione di un'equazione differenziale ricorrente}
\label{app:stabilita}
La perturbazione di una soluzione dell'equazione del moto porta spesso alla
seguente equazione differenziale per la perturbazione:
\begin{equation}
    \ddot{\delta} + (2\mu +1) \frac{\dot{\delta}}{t} + \nu \frac{\delta}{t^2} = 0,
    \label{stabilita}
\end{equation}
con $\mu$ e $\nu$ positivi. Dimostriamo che le soluzioni sono sempre
decrescenti.\\
Cerchiamo una soluzione del tipo $\delta(t) = t^\gamma$. Inserendola
nell'Eq.(\ref{stabilita}) otteniamo
\begin{equation*}
    \gamma(\gamma-1)t^{\gamma-2} + (2\mu +1)\gamma t^{\gamma-2} + \nu
    t^{\gamma -2} = 0;
\end{equation*}
quindi $\delta(t)$ è soluzione se $\gamma$ è soluzione di $\gamma^2 + 2\mu
\gamma + \nu = 0$.                                                \\
Esaminiamo il caso $\Delta/4 = \mu^2 - \nu > 0 $. Poiché $0< \sqrt{\mu^2
-\nu}<\mu$, l'equazione di secondo grado ha due soluzioni reali negative
$\gamma_1 = -\mu-\sqrt{\mu^2-\nu}$ e $\gamma_2 = -\mu+\sqrt{\mu^2-\nu}$
dalle quali otteniamo due soluzioni dell'equazione differenziale:
\begin{equation*}
    \delta_1(t) = t^{-\mu - \sqrt{\mu^2 - \nu}},\;\;\;\;\;\;
    \delta_2(t) = t^{-\mu + \sqrt{\mu^2 - \nu}}.
\end{equation*}
Nel caso $\Delta/4<0$, posto $\omega^2 \equiv -\Delta/4$, l'equazione di
secondo grado ammette due soluzioni complesse $\gamma_1 = -\mu +i\omega$ e
$\gamma_2 = -\mu -i\omega$. Pertanto
\begin{equation*}
    \tilde{\delta}_1(t) = t^{-\mu}e^{i\omega \ln{t}},\;\;\;\;\;\;
    \tilde{\delta}_2(t) = t^{-\mu}e^{-i\omega \ln{t}},
\end{equation*}
sono soluzioni complesse. Poiché l'equazione differenziale è lineare,
combinazioni lineari di soluzioni sono soluzioni, in particolare lo sono
$\delta_1(t) = (\tilde{\delta}_1(t) + \tilde{\delta}_2(t))/2$ e
$\delta_2(t) = (\tilde{\delta}_1(t) - \tilde{\delta}_2(t))/(2i)$. Otteniamo
cos\`i due soluzioni reali all'equazione differenziale:
\begin{equation*}
    \delta_1(t) = t^{-\mu} \cos{(\omega \ln{t})},\;\;\;\;\;\;\;
    \delta_2(t) = t^{-\mu} \sin{(\omega \ln{t})}.
\end{equation*}
In entrambi i casi abbiamo trovato due soluzioni infinitesime indipendenti.
Dal momento che l'equazione differenziale è lineare del secondo ordine, qualsiasi soluzione
è esprimibile come combinazione lineare di $\delta_1$ e $\delta_2$ e
pertanto è infinitesima.\\


\nocite{art:piccolo}
\nocite{book:liddle}
\bibliography{bibliografia}
\bibliographystyle{unsrtnat}
\end{document}
